Abitur kompakt Wissen Mathematik by Werner Janka, Gerhard Palme

By Werner Janka, Gerhard Palme

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3 x2 · \ X · 2 \ X + x3 2\ X _ 6x 3 + x3 7x3 3,Sx 3 ~ - ~ = 2\X = \X = 3,5 x 2 • \ x Zu diesem Ergebnis wäre man auch gekommen, hätte man f(x) = x3 • \ = x 3 • x~ = x 3•5 geschrieben und dann nach der Regel für die Ableitung der Potenzfunktion gerechnet: x f'(x) = 3,5 · x2•5 = 3,5x 2 • xi = 3,5x 2 · \ X. (f ± c)'(x) = f '(x) für c = const. Allein mit den bisher aufgeführten Regeln gelingt die Differenziation jeder Polynomfunktion! Beispiel1: Ableitung einer Polynomfunktion f: IR-IR, x~y = ~x 4 + ix 3 - 2x + 7 hat die Ableitung: i f': IR- IR, x ~ y = ~ · 4 x3 + x · 3 x2 3 - 2 ·1+0 U TIENTENREGEL Damit gelingt die Differenziation jeder gebrochen-rationalen Funktion.

0), Weitere Sätze über stetige Funktionen Beispiel 2: Unstetige Funktionen a) Die sgn-Funktion (vgl. Seite 15) ist an der Stelle x0 = 0 unstetig. c) ~ ' b) Y 0 : d) Y ZWISCHENWERTSATZ Ist eine Funktion f auf [a; bJ stetig und gilt f(a) < c < f(b) oder f(a) > c > f(b), so gibt es mindestens ein x0 E Ja; b[ mit f(x 0 ) = c. LSTELLENSATZ Ist eine Funktion f auf [a, bJ stetig und gilt f(a) < 0 < f(b) oder f(a) > 0 > f(b ), so besitzt f mindestens eine Nullstelle x 0 E Ja; b[. -+-+-+~-- n Die in b, c und d dargestellten Funktion f, g und h sind jeweils an der Stelle x0 unstetig.

KRITERIEN FÜR HOCH· TIEF· BZW. TERRASSSENPUNKT Hat f' dabei an der Stelle x 0 einen Vorzeichenwechsel von +zu - bzw. von - zu+, so hat fin in x0 ein lokales Maximum bzw. Minimum; Gf hat dann den Hoch- bzw. Tiefp unkt (x 0 If(x 0 )). Hat f' an der Stelle x0 eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, so hat Gf den Terras· senpunkt (x 0 If(x 0 )). 72 1 Analysis - Differenzialrechnung Kurvendiskussion Beispiel1: Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Polynomfunktion X> 3 + 0 - 0 + G, streng monoton steigend Hochpunkt (115) streng monoton fallend Tiefpunkt (311) streng monoton steigend Beispiel 2: Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Polynomfunktion f': IR -IR, x - y 4 = ~ x3 * x +~x 2 3 - f'(X) = 0 co Nullstellen: x1 = 0, co x2 = 3 Felder abstreichen: f(x) 256 l x4 0 + 0 n.

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