Algebra II: Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und by Bartel L. van der Waerden

By Bartel L. van der Waerden

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Definiert man den Endomorphismus A {J fiir {J E Q durch (lO) (A{J)u = (Au){J, so entspricht dem Produkt a{J das Produkt A{J. Der Ringhomomorphismus a_A ist also zugleich ein Operatorhomomorphismus in bezug aufQ. Ein Ringhomomorphismus mit dieser Eigenschaft heiBt eine Darstellung von 0 (durch Endomorphismen des Q-Moduls IDl). Wir haben gesehen, daB jeder Doppelmodul IDl (mit 0 als Linksund Q als Rechts-Operatorenbereich) eine Darstellung von 0 ver- Das kleine und das groBe RadikaI 53 mittelt. o als Rechts-Operatorenbereich.

N - 1). Diese Wahl der Up steht im Einklang mit der friiheren Verabredung, daB fiir Ug das Einselement von ~ zu wahlen ist: UE = (us)O = e. Die note Potenz von Us ist das Produkt der (n ersten Potenz. Daraus folgt nach (12) (US)lI (21) = I)-ten und der e<5 , wo <5 ein Element von E ist. Dieses eine Element bestimmt das ganze Faktorensystem, denn man hat fiir i + k < n (us)'(us)" = (uS)H" undfiiri+k~n (us), • (us)" = (uS)H"-lI. (US)lI = (US)H"-lI. <5 . Die Faktoren <5P,R sind also gleich 1 oder <5, je nachdem, ob in S' und R = S" die Summe der Exponenten i k < n oder ~n ist.

A, Sind die Eigenschaften I', 2', 3' erfUllt, so heiBt die Einheitsgruppe Q: direkter Durchschnitt von >81, ... , >8 n . Steht in 2' statt Q: eine Gruppe 'l) und gelten I' und 3' ungeandert, so heiBt 'l) direkter Durchschnitt von >81,"" >8 n . Dieser allgemeinere Fall laBt sich durch Bildung der Faktorgruppen @/'l) und >8t/'l) ohne weiteres auf den Fall 'l) = Q: zuriickfiihren. , 3. Definiert man die nach 3', so folgt aus 2' m, m, n (2) 18, = ~ . Die m, sind, als Durchschnitte von Normalteilern, wieder Normaltailer in @.

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