Algebra (Lehrbuch) by Siegfried Bosch

By Siegfried Bosch

Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfältige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde findet. Die vorliegende Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie einführenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist.

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Vgl. 3. Die Einfuhrung f¨ von Idealen erfolgte gegen Ende des 19. Jahrhunderts im Zusammenhang mit Versuchen, den Satz uber die eindeutige Primfaktorzerlegung ¨ in Ringen ganzer algebraischer Zahlen zu beweisen. Als man eingesehen hatte, dass dieser Satz in solchen Ringen nicht uneingeschrankt gultig ist, hatte man ¨ ¨ sich eine gewisse Zeit mit Zerlegungen in so genannte ideale Zahlen behelfen wollen. Doch Dedekind bemerkte schließlich, dass man nicht einzelne Elemente faktorisieren sollte, sondern gewisse Teilmengen eines Ringes, die er Ideale nannte.

Satz 2 und Korollar 11, untersucht man in erster Approximation, ffur ¨ welche Werte von d der Ring Rd euklidisch ist. Als Gradabbildung δ : Rd√ −{0} −→ N bietet sich hier die so genannte “Norm” an, gegeben durch δ(a + b d) = |a2 − b2 d|; zur allgemeinen Definition der Norm vgl. 7. Man kann zeigen, dass Rd genau ffur ¨ folgende Werte von d unter dieser Gradabbildung euklidisch ist: d = −1, −2, −3, −7, −11, d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73. Daruber hinaus weiß man, dass Rd ff¨ ur d < 0 in noch genau den folgenden Fallen ¨ ¨ faktoriell ist: d = −19, −43, −67, −163.

Es sei R ein Hauptidealring und a = εpν11 . . pνrr eine Primfaktorzerlegung in R mit einer Einheit ε und paarweise nicht-assoziierten Primelementen pi . Dann sind die Ideale (pν11 ), . . , (pνrr ) paarweise koprim in R, und es gilt a = kgV(pν11 , . . , pνrr ) sowie (a) = ri=1 (pνi i ). 3/12 ein kanonischer Isomorphismus ∼ R/(pν1 ) × . . × R/(pνn ). R/(a) −→ 1 n In euklidischen Ringen R gibt es ein konstruktives Verfahren zur Bestimmung des großten gemeinsamen Teilers zweier Elemente x, y ∈ R, namlich den ¨ ¨ Euklidischen Algorithmus.

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