# Álgebra Lineal y sus aplicaciones by DAVID C. LAY

By DAVID C. LAY

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Estas operaciones de vectores tienen las siguientes propiedades, que se pueden verificar en forma directa a partir de las propiedades correspondientes para números reales. Vea el problema de práctica 1 y los ejercicios 33 y 34 incluidos al final de esta sección. 01 Maq. Cap. indd 31 10/13/06 12:13:53 AM 32 Capítulo 1 Ecuaciones lineales en álgebra lineal PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE Rn Para todos u, v y w en Rn y todos los escalares c y d: (i) (ii) (iii) (iv) uϩvϭvϩu (u ϩ v) ϩ w ϭ u ϩ (v ϩ w) uϩ0ϭ0ϩuϭu u ϩ (Ϫu) ϭ Ϫu ϩ u ϭ 0, donde Ϫu denota a (Ϫ1)u (v) (vi) (vii) (viii) c(u ϩ v) ϭ cu ϩ cv (c ϩ d)u ϭ cu ϩ du c(du) ϭ (cd)(u) 1u ϭ u.

Las entradas principales (■) pueden tener cualquier valor distinto de cero; las entradas con asterisco (*) pueden tener cualquier valor (incluso cero). ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ⎢0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎥ 0 0 ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ∗ ∗ ⎢ ⎥, ⎢0 ⎥ 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ 0 0 0 ⎣0 ∗ ∗ ∗ ∗⎦ 0 0 0 0 0 0 0 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 EJEMPLO 1 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida porque las entradas principales son números 1, y abajo y arriba de cada 1 principal sólo existen ceros. ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 1 ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0 ∗ 1 0 ∗ ∗ ⎢0 1 0 0 ∗ ∗ 0 ∗⎥ 0 0 ⎢0 ⎢ ⎥ 1 ∗ ∗⎥ ⎢ ⎥, ⎢0 1 0 ∗ ∗ 0 ∗⎥ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ 0 0 0 ⎣0 1 ∗ ∗ 0 ∗⎦ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ Cualquier matriz distinta de cero se puede reducir por filas (esto es, transformarse mediante operaciones elementales de fila) para producir más de una matriz en forma escalonada, para ello se usan diferentes sucesiones de operaciones de fila.

Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solución contiene (i) una solución única, cuando no existen variables libres, o bien (ii) un número infinito de soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre. El procedimiento siguiente define cómo encontrar y describir todas las soluciones de un sistema lineal. USO DE LA REDUCCIÓN POR FILAS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL 1. Escriba la matriz aumentada del sistema. 2. Utilice el algoritmo de reducción por filas para obtener una matriz aumentada equivalente de forma escalonada.