Arbeitsbuch zur Linearen Algebra: Aufgaben und Lösungen by Uwe Storch, Hartmut Wiebe

By Uwe Storch, Hartmut Wiebe

Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über Lineare Algebra gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der Linearen Algebra bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat.

Als foundation – auch für das Zitieren von Standardergebnissen – wird der zweite Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe zu Grunde gelegt, der ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist und dem ein Großteil der hier behandelten Aufgaben entnommen ist. Etliche der Aufgaben sind aber auch neu. Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen eingefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.

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5 liefert eine weitere Lösung von Aufgabe 41 mit exakten Sequenzen. G, Aufg. 15) Seien x1 , . . , xn von 0 verschiedene Vektoren eines Vektorraums V über dem Körper K, der mindestens n Elemente besitze. Dann gibt es eine Hyperebene in V , die keinen der Vektoren x1 , . . , xn enthält. Lösung Indem man xi zu einer Basis von V ergänzt, sieht man, dass es Linearformen fi ∈ V ∗ gibt mit fi (xi ) = 1 = 0. Daher ist der Raum (Kxi )◦ der auf xi verschwindenden Linearformen ein echter Unterraum von V ∗ .

H . (2) Den trivialen Untergruppen A × B ⊆ G × H , A Untergruppe von G, B Untergruppe von H , entsprechen bei der Korrespondenz aus (1) die trivialen Subquotienten A/A bzw. B/B. Genau dann sind also alle Untergruppen von G × H von diesem Typ, wenn die trivialen Subquotienten die einzigen isomorphen Subquotienten von G und H sind. B. dann der Fall, wenn G und H endlich von teilerfremder Ordnung sind. Dann sind nämlich auch die Ordnungen der Subquotienten teilerfremd und können nur dann isomorph sein, wenn sie trivial sind.

4 von Lagrange die Ordnung Ord(G/N) = [G : N ] von G/N . Andererseits ist Ord(H /(H ∩ N)) = [H : (H ∩ N)] , wieder nach dem Satz von Lagrange, ein Teiler der Ordnung Ord H von H . h. es ist H = H ∩ N und somit H ⊆ N . • Bemerkung Aus dem Bewiesenen folgt, dass ein Normalteiler einer endlichen Gruppe G, für den Ordnung und Index teilerfremd sind, die einzige Untergruppe seiner Ordnung in G ist. Aufgabe 6 ( L e m m a v o n G o u r s a t ) Seien G, H Gruppen. Dann ist : (A,M; B,N ; ϕ) −→ Uϕ := {(a, b) ∈ A×B | ϕ(aM) = bN } eine bijektive Abbildung der Menge der 5-Tupel (A,M; B,N ; ϕ) mit Untergruppen A ⊆ G, B ⊆ H und Normalteilern M ⊆ A, N ⊆ B sowie einem Isomorphismus ϕ : A/M → B/N auf die Menge der Untergruppen U ⊆ G×H .

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