# Calculus and Linear Algebra. Volume 2: Vector Spaces, by Wilfred Kaplan, Donald J. Lewis

By Wilfred Kaplan, Donald J. Lewis

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Example text

H. mod Í . Damit ist mod Í symmetrisch. Die Transitivit¨at erhalten wir wegen mod Í ½ ½ ½ ½ ½ mod Í µ ¾Í ¾ Í µ ´ µ´ µ ¾Í µ mod Í . Ist ¾ mod Í und daher ½ ¾ Í . Damit ist aber Í so folgt ½ ½ ¾ Í . Damit ist ¾ ¡ Í . Ist umgekehrt ¾ ¡ Í , so gibt ´ µ, und es ist es ein Ù ¾ Í mit Ù. h. ¾ Í . Damit haben wir Í ¡ Í gezeigt. Die Tatsache, daß die Nebenklassen eine Partition von bilden, wollen wir etwas allgemeiner nachweisen. Wir zeigen: Hilfssatz Ist Å eine Menge und ¨ Aquivalenzklassen ¾Å ¨ eine Aquivalenzrelation auf Å , so bilden die eine Partition von Å .

H. daß Kern gegen¨uber skalarer Multiplikation abgeschlossen ist. Damit ist 53 2. Lineare Abbildungen ¨ Kern ein Unterraum von Î . Ahnlich erhalten wir (iv). Zun¨achst ist Im eine Untergruppe der abelschen Gruppe von Ï . F¨ur « ¾ Ã und ¾ Im folgt aber ´Üµ f¨ur ein Ü ¾ Î , und wir erhalten « « ´Üµ ´«Üµ, woraus « ¾ Im folgt. 3 Lemma Sind falls linear. 3 ist ´ Æ µ´« µ ´ ´« µµ Æ ´« ´ ein Homomorphismus der Gruppen. Wegen µµ « ´ ´ µµ «´ Æ µ´ µ ist Æ dann ÙØ aber auch linear. Ï linear und bijektiv, so ist ½ Ï Î linear.

Also ist Ý ¾ Kern und damit Ü ¾ Kern ¡ . Damit haben wir ¡ Kern Kern ¡ und v¨ollig analog ergibt sich auch Kern ¡ ¡ Kern . ÙØ Wir wollen diesen Abschnitt mit der Bemerkung beschließen, daß die hier gemachten Untersuchungen keinesfalls auf Gruppen und deren Homomorphismen beschr¨ankt sind, sondern f¨ur beliebige algebraische Strukturen gelten. In dieser Vorlesung werden wir jedoch vorwiegend Gruppen und Vektorr¨aume betrachten. 1 Definition Sind Î und Ï Ã -Vektorr¨aume, so nennen wir eine Abbildung Î Ï linear oder einen Vektorraumhomomorphismus, wenn ein Homomorphismus der additiven abelschen Gruppen ist und f¨ur alle « ¾ Ã und ¾ Î auch ´« µ « ´ µ gilt.